الرياضيات: السنة التاسعة أساسي
دروس الرياضيات للسنة التاسعة حسب الكتاب الرسمي: الأنشطة العددية والجبرية، الإحصاء والاحتمالات، والأنشطة الهندسية، مع تمارين تفاعلية مصحّحة فورًا.
أنشطة عددية
الفصل 1 · التعداد والحساب
القواسم والأعداد الأوّلية
العدد الأوّلي له قاسمان فقط: 1 ونفسه. كلّ عدد صحيح طبيعي أكبر من 1 يُكتب جذاء عوامل أوّلية، وهذا التفكيك يسهّل إيجاد القواسم والقاسم المشترك الأكبر.
قابلية القسمة على 6 أو 12 أو 15
يقبل العدد القسمة على 6 إذا قبلها على 2 و3، وعلى 12 إذا قبلها على 3 و4، وعلى 15 إذا قبلها على 3 و5.
أنشطة في التعداد
لعدّ الإمكانيات دون نسيان أيّ منها نستعمل شجرة الاختيارات أو جدولًا ذا مدخلين. إذا كان للاختيار الأوّل n إمكانية وللثاني p إمكانية، فعدد الإمكانيات n × p.
الفصل 1: التعداد والحساب
الفصل 2 · مجموعة الأعداد الحقيقية IR
الكتابات العشرية لعدد كسري نسبي
لكلّ عدد كسري نسبي كتابة عشرية إمّا منتهية (مثل 3/8 = 0,375) وإمّا غير منتهية دورية (مثل 2/3 = 0,666…). تكون منتهية إذا كان مقام الكسر غير القابل للاختزال لا يقبل إلّا العاملين 2 و5.
الأعداد الحقيقية
بعض الأعداد ليست كسرية نسبية، مثل √2 وπ: كتابتها العشرية غير منتهية وغير دورية، ونسمّيها أعدادًا صمّاء. الأعداد الكسرية النسبية والأعداد الصمّاء تكوّن مجموعة الأعداد الحقيقية IR.
تدريج مستقيم بواسطة الأعداد الحقيقية
كلّ نقطة من مستقيم مدرّج تقابلها فاصلة هي عدد حقيقي، وكلّ عدد حقيقي يقابله نقطة وحيدة. يمكن إنشاء النقطة التي فاصلتها √2 أو √5 باستعمال نظرية بيتاغور والبركار.
الفصل 3 · العمليات في مجموعة الأعداد الحقيقية
الجمع والطرح في مجموعة الأعداد الحقيقية
الجمع في IR تبديلي وتجميعي، و0 عنصره المحايد، ولكلّ عدد a مقابل −a. الطرح هو جمع المقابل: a − b = a + (−b). نجمع الجذور المتشابهة: 2√3 + 5√3 = 7√3.
الضرب والقسمة في مجموعة الأعداد الحقيقية
الضرب في IR تبديلي وتجميعي وتوزيعي على الجمع، و1 عنصره المحايد، ولكلّ عدد غير منعدم مقلوب. للأعداد الموجبة: √a × √b = √(a × b) و√a ÷ √b = √(a ÷ b).
القيمة المطلقة لعدد حقيقي وخاصياتها
القيمة المطلقة لعدد حقيقي a هي المسافة بين النقطة ذات الفاصلة a والأصل: |a| = a إذا كان a ≥ 0، و|a| = −a إذا كان a ≤ 0. ومن خاصياتها |ab| = |a||b|.
حساب عبارات بها جذور تربيعية
نبسّط الجذر بإخراج المربّعات التامّة: √50 = √(25 × 2) = 5√2. نزيل الجذر من المقام بضرب البسط والمقام في الجذر: 1/√2 = √2/2. ونتذكّر أنّ √(a²) = |a|.
الفصلان 2 و3: الأعداد الحقيقيّة والعمليّات فيها
الفصل 4 · القوى في مجموعة الأعداد الحقيقية
قوّة عدد حقيقي دليلها عدد صحيح نسبي
aⁿ هو جذاء n عاملًا كلّها تساوي a. نتّفق أنّ a⁰ = 1 (a ≠ 0) وأنّ a⁻ⁿ = 1/aⁿ. مثلًا 10⁻³ = 0,001 و2⁻¹ = 1/2.
خاصيات القوى والكتابة العلمية
aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ، aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ، (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ، (ab)ⁿ = aⁿbⁿ. الكتابة العلمية لعدد موجب: a × 10ⁿ حيث 1 ≤ a < 10.
الفصل 5 · الترتيب والمقاربة
الترتيب والجمع في IR
a ≤ b يعني أنّ b − a ≥ 0. إذا أضفنا العدد نفسه إلى طرفي متفاوتة لا يتغيّر اتّجاهها: إذا كان a ≤ b فإنّ a + c ≤ b + c. ونجمع متفاوتتين من نفس الاتّجاه طرفًا بطرف.
الترتيب والضرب في IR
إذا ضربنا طرفي متفاوتة في عدد موجب قطعًا لا يتغيّر اتّجاهها، وإذا ضربناهما في عدد سالب قطعًا يتغيّر اتّجاهها. ونضرب متفاوتتين طرفاهما موجبان طرفًا بطرف.
مقارنة مقلوبي عددين والمقاربة
إذا كان a وb موجبين قطعًا (أو سالبين قطعًا) وa ≤ b فإنّ 1/a ≥ 1/b: المقلوب يقلب الترتيب. ونقرّب عددًا بقيمة عشرية بالنقصان أو بالزيادة.
الفصلان 4 و5: القوى، الترتيب والمقاربة
أنشطة جبرية
الفصل 6 · الجذاءات المعتبرة والعبارات الجبرية
الجذاءات المعتبرة
(a + b)² = a² + 2ab + b²، (a − b)² = a² − 2ab + b²، (a − b)(a + b) = a² − b². نستعملها للنشر السريع والحساب الذهني والتفكيك.
العبارات الجبرية: النشر والتفكيك
النشر يحوّل جذاءً إلى مجموع، والتفكيك يحوّل مجموعًا إلى جذاء. نفكّك بإخراج عامل مشترك (ka + kb = k(a + b)) أو باستعمال الجذاءات المعتبرة.
الفصل 7 · المعادلات والمتراجحات من الدرجة الأولى
المعادلات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد
المعادلة ax + b = 0 (a ≠ 0) لها حلّ وحيد x = −b/a. نحلّ بنقل الحدود وقسمة الطرفين. والمعادلة الجذائية A × B = 0 تعني A = 0 أو B = 0.
المجالات في IR والحصر
المجال [a ; b] هو مجموعة الأعداد x حيث a ≤ x ≤ b. المعقوف المفتوح يستثني الطرف، و∞ يُفتح دائمًا. نستعمل المجالات لكتابة مجموعات الحلول وتقاطعها واتّحادها.
المتراجحات من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد
نحلّ المتراجحة مثل المعادلة، مع قاعدة أساسية: عند ضرب الطرفين أو قسمتهما على عدد سالب يتغيّر اتّجاه المتراجحة. ونكتب الحلول في شكل مجال.
الفصلان 6 و7: العبارات الجبريّة، المعادلات والمتراجحات
الإحصاء والاحتمالات
الفصل 8 · الإحصاء والاحتمالات
السلاسل الإحصائية المنقطعة والمسترسلة
السلسلة المنقطعة تأخذ قيمًا معزولة (عدد الإخوة)، والمسترسلة تُجمع في فئات (الأطوال، الأوزان). نحسب المدى والمنوال والمعدّل الحسابي ونمثّل السلسلة بمخطّط مناسب.
التكرارات التراكمية والموسط
التكرار التراكمي الصاعد لقيمة هو عدد الأفراد الذين قيمتهم أصغر منها أو تساويها. الموسط قيمة تقسم السلسلة المرتّبة إلى جزأين متساويين في العدد.
الاحتمالات
في تجربة عشوائية نتائجها متساوية الحظوظ، احتمال حدث = عدد الحالات الملائمة ÷ عدد الحالات الممكنة. الاحتمال عدد بين 0 و1، واحتمال الحدث المضادّ = 1 − الاحتمال.
الفصل 8: الإحصاء والاحتمالات
أنشطة هندسية
الفصل 9 · التعيين في المستوي
التعيين على مستقيم
على مستقيم مدرّج بالمعيّن (O، I)، لكلّ نقطة فاصلة. المسافة بين A(xₐ) وB(xᵦ) هي |xᵦ − xₐ|، وفاصلة منتصف [AB] هي (xₐ + xᵦ)/2.
التعيين في المستوي
في معيّن (O، I، J) لكلّ نقطة M زوج إحداثيات (x ; y): الفاصلة x والترتيبة y. منتصف [AB] إحداثياته ((xₐ + xᵦ)/2 ; (yₐ + yᵦ)/2). وفي معيّن متعامد ممنظَم AB = √((xᵦ − xₐ)² + (yᵦ − yₐ)²).
الفصل 10 · مبرهنة طالس وتطبيقاتها
مبرهنة طالس في المثلث
في مثلّث ABC، إذا كانت M من [AB] وN من [AC] و(MN) موازيًا لـ (BC) فإنّ AM/AB = AN/AC = MN/BC. وعكسيًّا، إذا تساوت النسبتان AM/AB وAN/AC فإنّ (MN) // (BC).
مبرهنة طالس والمستقيمات المتوازية
مستقيمات متوازية تقطع قاطعين تحدّد عليهما قطعًا متناسبة. ومنها تطبيقات: شبه المنحرف، والمسقط الموازي لقطعة ومنتصفها.
تجزئة قطعة مستقيم
باستعمال مبرهنة طالس نجزّئ قطعة مستقيم إلى أجزاء متقايسة بالمسطرة غير المدرّجة والبركار، أو نعيّن نقطة M منها حيث AM/AB نسبة معلومة.
الفصلان 9 و10: التعيين ومبرهنة طالس
الفصل 11 · العلاقات القياسية في المثلث القائم
نظرية بيتاغور وتطبيقاتها
في مثلّث قائم، مربّع الوتر يساوي مجموع مربّعي الضلعين الآخرين: إذا كان ABC قائمًا في A فإنّ BC² = AB² + AC². نستعملها لحساب طول ضلع.
عكس نظرية بيتاغور
إذا كان في مثلّث ABC: BC² = AB² + AC² فإنّ المثلّث قائم في A. وإذا لم تتحقّق المساواة (BC أطول ضلع) فالمثلّث ليس قائمًا.
العلاقات القياسية في المثلث القائم
في مثلّث ABC قائم في A وارتفاعه [AH]: AH × BC = AB × AC (من المساحة)، وAH² = BH × CH، وAB² = BH × BC، وAC² = CH × BC.
الفصل 12 · أنشطة حول الرباعيات
الرباعيات الخاصّة وخاصيّاتها
متوازي الأضلاع قطراه متناصفان. المستطيل متوازي أضلاع قطراه متقايسان، والمعيّن متوازي أضلاع قطراه متعامدان، والمربّع مستطيل ومعيّن معًا. وشبه المنحرف له ضلعان متوازيان.
مسائل تأليفية حول الرباعيات
في المسائل التأليفية نجمع أدوات السنة: المنتصفات، طالس، بيتاغور وعكسها، الإحداثيات، لإثبات طبيعة رباعي وحساب أطواله ومساحته.
الفصل 13 · التعامد في الفضاء
التعامد في الفضاء
المستقيم عمودي على مستوٍ إذا كان عموديًّا على مستقيمين متقاطعين من هذا المستوي، وعندئذ يكون عموديًّا على كلّ مستقيمات المستوي. نستعمل ذلك لحساب الأطوال في المجسّمات.
الهرم المنتظم والمخروط الدوراني
الهرم المنتظم قاعدته مضلّع منتظم ورأسه على العمودي على القاعدة في مركزها. المخروط الدوراني قاعدته دائرة. حجم كليهما = (مساحة القاعدة × الارتفاع) ÷ 3، ونحسب الأطوال ببيتاغور.
الفصول 11، 12 و13: المثلّث القائم، الرباعيّات والفضاء